摘要：本文通过对“数系的扩充”这节概念课的设计与反思，提出数学概念教学不仅要包含最基本的知识性内容，还应包含以内容为载体的数学思想方法与数学文化。数系的扩充是高中数学教材中典型的富有浓厚数学思想与文化的内容，复数概念的发展具有丰富的历史背景，而概念本身的产生又涉及到数学中化归类比、抽象概括、符号化等重要的数学思想。因此，本节课的教学定位是注重数学思想与文化的传播，激发学生自主探究的热情和勇于质疑的精神。
关键词：数系的扩充；数学思想；数学文化
中图分类号：G４２ 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（201１）１２-00３３-0４
数系的扩充是苏教版高中数学教材选修系列中文理科学生必选的一节内容，教学主要围绕实数系向复数系的扩充而展开，因此，这节课定位为一节基本概念课。概念是属于陈述性知识的范畴，如果采用告知式、灌输式的形式传递给学生，学生能够掌握并会运用，但学生不能理解其概念产生的必然性和定义的合理性。因此，如何将一个陈述性的知识讲解得透彻、自然，使学生了解其产生的数学背景，体现其蕴含的数学思想和数学文化，是本节课教学的主要定位。
一、一瓢水·一桶水·一江水
一个新的数学概念的产生往往蕴含丰富的数学背景，复数也不例外。从社会生活看，为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断发展着，为了计数的需要产生了自然数，为了测量等需要产生了分数，为了刻画具有相反意义的量产生了负数，为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数，等等；从数学内部看，从自然数集到实数集是按某种“规则”不断扩充的。作为教师，首先要从这两个角度了解、认识复数的发展历程，从而引导学生从数学的角度认识理解数系的扩充规则。
同时，一个新的概念的产生过程有时并非一帆风顺，常常会出现发现、认识、质疑、否定、再认识等等这样一系列周而复始的过程。历史中复数最早出现在１６世纪关于三次方程的研究（也有人认为更早），它的出现曾经引起数学界极大的争议，很多数学家不承认它的存在，莱布尼茨这样评论虚数：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物。”欧拉则说：“一切形如ｉ的数学式子都是不可能有的想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”把复数与几何（向量）对应起来从而赋予复数几何上的解释应该归功于高斯，不仅如此，高斯还给复数定义了加法与乘法运算，从而使得复数可以像实数一样代数化。经过数学家们２００多年不懈的努力建立起完备的复数理论，才给复数这一数学上的幽灵揭去了神秘的面纱，使得它成为数系大家庭中的一员。
一个新的概念刚刚出现时可能对社会、科技发展的作用并不明显，随着研究的深入和相关学科的发展，它的作用将日趋显著。复数在近、现代科学中发挥着极其重要的作用，其渗透到代数学、数论、微分方程等数学分支，在流体力学、热力学、机翼理论等领域得到广泛的应用。因此，复数是现代人才必备的基础知识之一。很难想象，如果没有复数，函数论会有今天的辉煌吗？如果没有复数，函数论会与几何结合得如此紧密吗？如果没有复数，飞机或许不会那么早上天，水坝、水电站等技术问题的解决说不定会再晚若干年。
数学历史与文化的介绍既可以丰富学生的数学知识，提升学生数学学习的兴趣，又可以使学生感受数学家探究的精神，体会数学思维的价值。在向学生介绍复数发展史之前，教师首先要深入了解复数的历史，也许我们课堂上不必向学生事无巨细地全面介绍，但作为教师应该了解他们，在实际的教学过程中视情况决定采用什么方式，讲到什么程度。给学生“一瓢水”，教师自己要有“一桶水”，从而期待学生学成之时将是满满“一江水”。
二、案例剖析
数系的扩充是数的科学发展的历史，数学思想与文化的介绍可以成为贯穿本节课的一条主线。于是本节课我以“提出问题——分析问题——解决问题——反思问题”为线索设计教学，把数学思想与数学文化作为一条暗线贯穿始终。
（一）从“卡当问题”引入，让学生亲自感受矛盾的产生，把握问题的本质
引入问题：将１０分成两部分，使两者的乘积等于４０，则两数为多少？
一般解法：设一个数为ｘ，另一个数为１０－ｘ，则ｘ·（１０－ｘ）＝４０，学生通过已有的知识很快可以判断此方程在实数范围内无解。
数学史介绍：你们遇到的这个问题正是十六世纪意大利数学家卡当在研究数的拆分时遇到的一个问题。然而作为一个数学家他发现这么一个简单的方程竟然无解，他不甘心，希望通过自己的深入研究解决这个问题。同学们是否也不甘心，希望解决这个问题呢？
我们今天这节课就来研究解决这个问题。 这个问题与传统观念的冲突在哪里？要发展的关键点是什么？
学生思考得到：（ｘ－５）２＋１５＝０，容易观察出这个方程在实数范围内无解。
要解决这个问题必须承认负数开平方的意义，这是解决这一问题的关键点．而这一点不是直观可以想象的，需要理性精神发挥作用。
第一层次数学史的介绍采用的是旁敲侧击法，提出问题时不告知学生是卡当问题，而在学生认为问题无解时引入数学家卡当，介绍从数学家的眼光如何看待这个问题，一石激起千层浪，引发学生欲与“科学家”试比高的想法。有了热情，接着就是行动，而方向比距离更重要，在行动前首先要确定方向，教师引导学生解决数学问题的第一步骤即问题到底是什么？也就是问题的本质。提炼问题本质的过程体现了数学学习的一种重要的思维能力——抽象概括能力。
（二）回顾数学学习史，探究问题解决的一般数学思想方法
在第一段中得到问题的矛盾是负数不能开平方，因此教师可以提出：“要使方程能解，就必须使负数能开平方。这就需要扩充数的范围。我们以前的学习中有过类似经历吗？从以前关于数的范围扩充的经历中，你得到什么启发？”
问题提出后，学生有了明确的思考方向，通过学生的回顾、交流和总结，概括出从自然数到实数的发展过程，即：在自然数集中，无法解决小数减大数，方程ｘ＋２＝０无解，为此引入负数，数集扩充到整数集；在整数集中，方程３ｘ－２＝０无解，为此引入分数，数集扩充到有理数集；在有理数集中，方程ｘ２－２＝０无解，为此引入无理数，数集扩充到实数集。
数学史介绍：学生通过数十载的学习可以很快地发现数系发展的历程，但在历史上，数的发展并非一帆风顺，例如无理数的发现。早在公元前５００年，古希腊毕达哥拉斯（Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓ）学派的弟子希勃索斯（Ｈｉｐｐａｓｕｓ）发现了一个惊人的事实，若正方形边长是１，则对角线的长不是一个有理数，这与毕氏学派“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位．希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的惩处。然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。
就是有前人这样不屈不挠地对真理的探索，我们才有了今天一目了然的关于数的发展历程，如下图：
这里学生基本回答了教师提出的第一个问题——在过去的学习过程中有没有遇到过类似的问题？但教师设计此问想得到的并非是遇到的问题，更想通过学生的回顾寻找出数集的每一步发展有什么共同的特点，以通过类比的方法得到解决今天我们遇到的新问题的可行性方案。
于是，教师提问：“从数的发展历程图中能否感受到数集的每一步发展有什么共同的特点？”
对学生回答的共同点进行整理提炼得到如下两点共识：
（１）增添新元素；
（２）新数系解决了旧数系提出的矛盾。
这两点是容易观察提炼并适用于解决今天遇到的新问题的方法，也回答了教师提出的第二个问题——又是如何解决这些问题的？
第二层次的数学史介绍，一方面使学生了解数的科学发展历程，感受到数学家探索真理的勇气，同时在数的发展历程中学会寻找数系发展的一般规律，为后续问题解决打好基础。
（三）合理的类比，大胆的猜想，实现实数集的扩充
根据前三次数系扩充的一般规律，在实数集中，遇到了方程ｘ２＝－１无解，学生会想到采用类比的方式，承认负数可以开平方，并可以表示。（学生有了这一想法很好，不必强求出现虚数单位，接下来可由教师介绍）
教师介绍：数学历史上就是这么干的，引入虚数单位ｉ，即ｉ２＝－１。通过与实数集合中数的运算形成新的数集，将数域扩展到复数集。根据这样的想法，同学们也来当一回数学家，看看有了虚数单位ｉ后，ｘ２＝－４怎么解？
学生运用实数集中的运算法则，得到ｘ＝２ｉ
接着教师还可以问：那你还能解决ｘ２＝－１５，（ｘ－５）２＋１５＝０吗？如果能，你能解决一切负数开平方问题吗？
通过教师的层层追问，学生发现引入ｉ并承认实数集中的运算律不仅能解决卡当问题，而且还能解决一切负数开平方问题。这个新规定似乎非常合乎情理，但合“法”吗？（这一提问激发起学生将合理的猜想进行合“法”化规定的渴望）
数学史介绍：著名的数学家欧拉首先使用ｉ表示这个新元素，并取名为虚数单位。当时他觉得这个新数太虚无飘渺了，就将英文ｉｍａｇｉｎａｒｙ的首写字母ｉ定义为－１的一个平方根。从十六世纪由卡当最初形式化表示，到十八世纪末欧拉符号化表示，历史上花费了两个多世纪的时间，由此可见数学上每一小步的迈进是多么的艰辛！
规定：
（１）ｉ２＝－１；
（２）实数可以与ｉ进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。
同学们刚刚得到的这些方程的根都可以看作是实数与ｉ进行四则运算后得到的新数，根据这些数的共同特点能否用统一的形式来表示？（均可以用ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）表示）
我们把形如ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）的数叫做复数。全体复数所组成的集合叫做复数集，记作Ｃ。复数通常用字母ｚ表示，即ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）。其中ａ叫做复数ｚ的实部，ｂ叫做复数ｚ的虚部。
复数ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）的分类：
■
至此，我们实现了从实数集到复数集的扩充，这就是我们这节课的所要学习的内容——数系的扩充。
第三层次的数学史介绍让学生感受数学规定的合理性和数学每一小步发展的艰辛。在问题解决的过程中，使学生体会到合情推理中类比的思想方法的运用。在复数概念引入的过程中，教师起到了先行组织者的作用，在这样的思想的引导下，学生实践，然后师生一起概括，能更好地体现教师在思想方法上的引导作用。
该节课中的例题属于比较简单的程序性知识，学生如果对复数概念的了解比较透彻，应该比较容易解决，这里就不再赘述。
（四）反思问题解决的过程，加深数学思想的理解，感受复数的应用价值
在一节课结束时教师通常会引导学生对本节课的学习内容进行反思总结，反思总结一般分为三类：知识类、思想方法类和个人体悟类。
在知识层面上又分为显性知识与隐性知识，显性知识是课本上以文字形式呈现的或是人人皆知的知识，一般没有反思总结的必要，而由显性知识间的内在逻辑关系引发的隐性知识则是反思总结的重点，于是在最后一个环节中提出数系扩充的一般原则是什么？
根据数系扩充的历程图，学生回顾反思得到数系扩充的一般规则有：
（１）增添新元素；
（２）新旧元素合在一起构成新数系，在新数系里，使原有的一些主要性质继续保持；
（３）旧元素作为新数系的成员，原有的运算关系仍然保持；
（４）新数系解决了旧数系提出的矛盾。
数学思想方法是分析、处理和解决数学问题的根本方法，是对数学规律的理性认识，因此，数学思想方法应与数学知识的学习融为一体，所以在反思总结时教师可以描述性地提及，不一定是刻意性的提问。
而在个人体悟类中，学生普遍的感受是了解了很多数学发展的历史，体会到了研究问题的一般方法，可是不知道复数的具体作用是什么。这就需要教师的“一桶水”来解决学生形形色色的问题。当初人们发现复数时并没感受到它的实际用处，否则不会用“虚无缥缈”的英文首写字母表示它了，可随着科技的发展，在后来的代数学、数论、微分方程、电学、流体力学、天体力学等领域，复数具有基础性工具的作用。
三、感悟数学教学
在本节课结束之后，曾有个听课老师对我讲了这么一句话：“您这节课的内容我十分钟就上完了。”是啊，数系的扩充这节课就书本内容考虑也不过十分钟而已，若干年后也许只有从事数学研究的学生才会记得有复数这个概念。其实不仅复数这个概念学生记不住，很多基本的概念学生依然会忘记，那学生这么多年的数学学习过程到底记住了什么呢？我想，回答这个问题应该先了解数学是什么？数学教育是什么？
数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的有效工具。数学不仅具有直接的应用价值，而且在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。因此，数学教育不仅包含了数学中最基本的知识性内容，还应包含以数学内容为载体的既严谨、缜密，又飞逸、灵动的数学思想方法与数学文化。数系的扩充是高中数学教材中典型的富有浓厚数学思想与文化的内容，复数概念的发展具有丰富的历史背景，而概念本身的产生又涉及到数学中化归类比、抽象概括、符号化等重要的数学思想。因此，本节课的教学定位是注重数学思想与文化的传播，激发学生自主探究的热情，培养学生合理猜想、勇于质疑的科学研究精神。
数学教育改革不在于教材怎么写，也不在于课堂教学内容如何更新，而在于数学教师对数学和数学教育的理解。
参考文献：
［１］章建跃，陶维林．注重学生思维参与和感悟的函数概念教学［Ｊ］．数学通报，２００９（７）．
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［３］李岳林．现代高中教学论［Ｍ］．北京：现代教育出版社，２００７．
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ Ｉｄｅｏｌｏｇｙ， Ｃｕｌｔｕｒｅ ａｎｄ Ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ Ｎｕｍｅｒａｌ Ｓｙｓｔｅｍ
ＪＵ Ｙａｎ
（Ｍｉｄｄｌｅ Ｓｃｈｏｏｌ Ａｔｔａｃｈｅｄ ｔｏ Ｎａｎｊｉｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｎａｎｊｉｎｇ ２１０００３， Ｃｈｉｎａ）
Abstract: Ｔｈｉｓ ｅｓｓａｙ ｐｏｉｎｔｓ ｏｕｔ ｔｈａｔ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ ｃｏｎｃｅｐｔ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｓｈｏｕｌｄ ｉｎｃｌｕｄｅ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ， ｂｕｔ ａｌｓｏ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ ｉｄｅｏｌｏｇｙ ａｎｄ ｃｕｌｔｕｒｅ ｂｙ ｄｅｓｉｇｎｉｎｇ ａｎｄ ｒｅｆｌｅｃｔｉｎｇ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ ｎｕｍｅｒａｌ ｓｙｓｔｅｍ， ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｔｙｐｉｃａｌ ｃｏｎｔｅｎｔ ｆｕｌｌ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ ｉｄｅｏｌｏｇｙ ａｎｄ ｃｕｌｔｕｒｅ ｉｎ ｓｅｎｉｏｒ ｈｉｇｈ ｓｃｈｏｏｌ． Ｅｍｐｈａｓｉｓ ｏｎ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ ｉｄｅｏｌｏｇｙ ａｎｄ ｃｕｌｔｕｒｅ ｉｓ ｃｏｎｄｕｃｉｖｅ ｔｏ ａｃｔｉｖａｔｉｎｇ ｓｔｕｄｅｎｔｓ＇ ｅｎｔｈｕｓｉａｓｍ ａｂｏｕｔ ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ｑｕｅｓｔｉｏｎｉｎｇ ｓｐｉｒｉｔ．
Key words: ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ｎｕｍｅｒａｌ ｓｙｓｔｅｍ； ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ ｉｄｅｏｌｏｇｙ； ｃｕｌｔｕｒｅ