摘 要:利用图解法来确定一维周期势作用下晶体的能带结构。研究发现,当势垒高度为零时没有带隙结构,随着势垒的增加在布里渊区边界上出现带隙。势垒越高,能带的最低能量越大,较低的允带越窄;垒宽增大,能带抬高;能量越高,允带宽度越大,而禁带宽度则越窄。相关研究有助于理解固体的能带结构。
关键词:能带结构 克龙尼克—潘纳势 布里渊区 色散曲线
中图分类号:TN2文献标识码:A文章编号:1674-098X(2011)04(b)-0083-02
1 引言
能带理论是固体物理学的核心内容。计算固体能带结构的方法有很多,如平面波法、近自由电子近似、紧束缚近似、正交化平方波法等[1]。实际固体是一个复杂的多体系统,上述的每一种计算方法都是近似理论,在一定的条件下可以对固体的能带结构进行相关描述。
为了对固体的能带结构有一个较为清晰的认识,不少参考书都举一个简单的模型,周期势是一维的克龙尼克—潘纳势(Kronig-Penney)来进行图示说明[2]。目前的制备技术,人们可以通过分子束外延(MBE),或金属有机物化学气相沉积(MOCVD)等技术制备出人造晶格,如GaAs /AlGaAs超晶格[3-4]。在这类材料中,由于两种成份的带隙不同,使得电子在其中的运动受到周期性势垒的作用,而这种周期势就可视为一维的克龙尼克—潘纳势[5]。
本文以克龙尼克—潘纳势为研究内容,通过一种新颖的图解法给出其能带结构,并了解不同参数对能带的影响。
2 模型及理论
一维克龙尼克—潘纳势模型如图1所示,粒子势垒高,宽,势阱宽,为晶格常数。
势能为,其他区域的势能为,为任意常数。
通过求解薛定谔方程,并结合布洛赫定理,可以得到如下方程:
(1)
式中:能量,,,。由于(1)式中、都是能量(无量纲数)的函数,故方程(1)是能量必须满足的一个超越函数方程。设方程右边表达式值为,则当时,布洛赫波数为实数,相应的给出了粒子能量的允带范围;而当时,为虚数,相应的则为能量禁带;则是允带、禁带的边界。
3 分析与讨论
3.1 图解法
本文采用图解法来进行研究。为了清晰了解各参数对能带的影响,我们改写(1)式,令,,为垒宽大小,则(1)式为
(2)
在平面内我们作出满足的曲线来,如图2所示。图2给出了=0.5时的变化曲线。当、为实数时,相应的曲线如图2右侧所示。由于,当的取值小于时,为虚数,为此亦在图2的左侧绘出了为虚数,为实数时的相应变化曲线。图2中,阴影区域为禁带区域,而白色区域则为允带区域。
对于其他值的变化曲线,带结构与之相类似。此外,(2)式中的、值满足:
(3)
对于不同的势垒高度,(3)式表示的方程曲线如图3所示,图3中同样绘出了取实数、虚数时的曲线形状。
可见要求解方程(1),我们只要利用方程(2)、(3)所示的曲线交点(如图2所示),即可给出解的结构。
3.2 能带结构
根据图2,当时,方程(2)、(3)的交点所给出的能带结构,将出现禁带(参阅图4),而当时,方程(3)为,是一条直线,在图2中的交点不出现禁带,这就是自由电子的情形,能带结构如图4所示。
可见势垒的高度不同,晶体的能带结构不同,图4给出了=0.5时不同值的能带变化图。从中可以清晰看到,随着的增大,电子的最低能量值将不再为零,而是随之高升。允带范围也出现了明显的变化,特别是能量较低的允带,随着的增大,将越来越窄。这很容易理解,很大时这就相当于一维无限深势阱,较低能量的电子将不易穿透势垒,不同阱间的电子影响小,相互之间的耦合弱,能量劈裂小,允带窄。
此外,还可以看到一个现象,随着能量的增大,允带的宽度将越来越大,相应的禁带宽度则越来越窄,这从图2很容易看出这一规律。
上面的讨论我们主要是针对垒宽=0.5来讨论的。如果不同,由图解法得到的能带结构亦不同,图5绘出了=0.2,0.5,0.8时不同值时的能带结构,可以看到,随着的增大,相应的能带结构均有不同程度的提高。
4 结论
本文采用一种新颖的图解法来确定一维周期势作用下晶体的能带结构。当势垒高度为零时,实际上是自由电子情形,粒子能量,没有带隙结构;随着势垒高度的增大,粒子能量将出现带隙结构,带隙出现在波长(为整数)处,即禁带出现在布里渊区边界上。随着的增大,最低能量逐渐升高,较低的允带逐渐变窄。随着垒宽增大,能带逐渐抬高。随着能量升高,允带宽度逐渐增大,而禁带宽度则逐渐变窄。
参考文献
[1]胡安,章维益.固体物理学[M].北京:高等教育出版社,2005.
[2]曾谨言.量子力学导论[M].北京:北京大学出版社,1998.
[3]贺利军,程兴奎,张健,等.GaAs/AlGaAs超晶格的光致发光[J].量子光学学报,2006.
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